1 балл демоверсия ЕГЭ-2026 этап 3/3 · побеждает Ваня (1-м или 2-м)

Игры: победа Вани первым или вторым ходом (куча)

Q: Почему выигрыш за один ход возможен для всех S до 123?

Ход «уменьшить в 4 раза» даёт кучу ⌊ S/4 ⌋; условие ⌊ S/4 ⌋ ≤ 30 выполняется при S ≤ 123. Поэтому ответ нужно искать сразу за этой границей.

Задание 21 · Билет 1 · ЕГЭ по информатике

Билет 1 — демоверсия ЕГЭ-2026; остальные билеты — задания в формате экзамена (открытый сборник или тренировочные по образцу). Это тренировочные материалы, а не официальные КИМ. Ответы пересчитаны и сверены.

Билеты

Билет 1 Билет 2 Билет 3

Условие

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

убрать из кучи 3 камня;
убрать из кучи 5 камней;
уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 5 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 31$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Для игры, описанной выше (см. задание 19), найдите минимальное значение $S$ , при котором одновременно: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Вопрос. Укажите найденное минимальное

S

Разбор задачи

Это та же игра с кучей, что в заданиях 19 и 20, но здесь побеждает Ваня — не позже своего второго хода, и победа не должна быть гарантирована уже первым ходом.

Нужно минимальное $S$ , при котором у Вани есть стратегия выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но нет гарантированной победы первым ходом.

Что важно знать

Задание базового уровня — оценивается в 1 балл
Выигрывает Ваня — второй игрок
Победа Вани не должна быть гарантирована уже первым ходом

План решения

Найдите зону мгновенной победы — до какого $S$ игрок выигрывает за один ход.
Возьмите $S$ за этой зоной: у Вани не должно быть мгновенной победы первым ходом.
Проверьте, что на любой ход Пети Ваня выигрывает не позже второго хода.
Убедитесь, что хотя бы один ход Пети не даёт Ване победы сразу.
Возьмите минимальное подходящее $S$ и запишите ответ.

Не знаешь, как решать?

Потренируйся на игре с кучей: тренажёр соберёт новые правила и попросит найти минимальное S, где Ваня побеждает первым или вторым ходом.

Открыть тренажёр

Решение

Теория с нуля: что нужно знать

1. Чем отличаются задания 19, 20 и 21

Правила игры во всех трёх заданиях одинаковые — отличаются только условие победы и число ответов. Для игры из задания 19 (порог 30, убрать 3, убрать 5 или уменьшить в 4 раза) ответы такие:

Задание	Кто выигрывает	Каким ходом	Ответ
19	Ваня (2-й игрок)	своим 1-м ходом	124
20	Петя (1-й игрок)	своим 2-м ходом	127 и 128
21	Ваня (2-й игрок)	первым или вторым ходом	132

Поэтому числа разные: 124, 127 128 и 132 — это ответы об одной и той же игре при разных условиях победы.

2. Правила игры

Перед игроками куча из

S

камней,

S \geq 31

. Игроки ходят по очереди, первым — Петя. За один ход можно убрать 3 камня, убрать 5 камней или уменьшить кучу в 4 раза (деление с округлением вниз). Игра заканчивается, когда в куче становится не более 30 камней: побеждает тот, кто сделал последний ход, то есть первым получил кучу

\leq 30

3. Выигрышная и проигрышная позиция

Позиция выигрышная для игрока, который сейчас ходит, если он может сходить так, что соперник окажется в проигрышной позиции, либо сразу завершить игру. Если такого хода нет, позиция проигрышная. Приём «считать позиции от конца к началу» называется ретроанализом.

4. Мгновенная победа

Игрок выигрывает за один ход, если после его хода куча становится не более 30. Для каждой команды это даёт своё условие: убрать 5 —

S - 5 \leq 30

, то есть

S \leq 35

; убрать 3 —

S - 3 \leq 30

, то есть

S \leq 33

; уменьшить в 4 раза —

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

, то есть

S \leq 123

. Значит, при

S \leq 123

всегда есть мгновенная победа.

5. Округление при делении

Команда «уменьшить кучу в

K

раз» — это деление с округлением вниз: дробная часть отбрасывается. Например, при уменьшении в 2 раза из 25 камней получается 12, а не 12,5:

⌊ 25/2 ⌋ = 12

. Условие

⌊ S / K ⌋ \leq L

равносильно

S \leq K \cdot (L + 1) - 1

, поэтому мгновенная победа возможна на единицу дальше точного произведения — на этой единице чаще всего и ошибаются.

6. Стратегия Вани: первый или второй ход

В задании 21 выигрывает Ваня, который ходит вторым. Нужно минимальное $S$ , при котором у Вани есть стратегия выиграть не позже своего второго хода при любой игре Пети.

При этом Ваня не должен гарантированно побеждать уже первым ходом: значит, существует такой ход Пети, после которого у Вани нет мгновенного выигрыша. То есть смотрим, что каждый ход Пети ведёт в позицию, где Ваня побеждает не позже второго хода, но хотя бы один ход Пети не даёт Ване победы сразу.

Решение

открыто шагов: 7 из 7

1 Шаг 1

Ретроанализ. Из

S \leq 123

игрок выигрывает за один ход (деление на 4 даёт

\leq 30

) — это зона мгновенной победы. У Вани не должно быть гарантии первого хода, поэтому ответ ищем за этой границей.

2 Шаг 2

Ходы Пети из 132: «убрать 3» → 129, «убрать 5» → 127, «уменьшить в 4 раза» → 33.

3 Шаг 3

Если Петя уменьшит кучу в 4 раза, Ваня выигрывает сразу:

33 - 3 = 30 \leq 30

4 Шаг 4

Из 129 Ваня убирает 3 камня и идёт в 126; после любого ответа Пети (123, 121 или 31) Ваня побеждает следующим ходом.

5 Шаг 5

Из 127 Ваня убирает 3 камня и идёт в 124; ответы Пети 121, 119 и 31 также выигрышны для Вани.

6 Шаг 6

Гарантии первого хода нет: из 129 и 127 у Вани нет хода в кучу

\leq 30

. Меньшие значения не подходят.

7 Шаг 7

Минимальное

S = 132

Правильный ответ этого билета: 132

Проверка:

S = 132

: на любой ход Пети Ваня побеждает не позже второго хода, но мгновенной победы первым ходом у Вани нет. Совпадает с эталоном демоверсии.

Проверка

Типовые ошибки и проверка

Ищут победу Пети, а в задании 21 выигрывает Ваня — второй игрок.
Берут $S$ , где Ваня выигрывает первым ходом, хотя требуется, чтобы гарантии первого хода не было.
Проверяют только один ответ Пети, а не любую его игру.
Считают деление точным: «уменьшить в 4 раза» из 132 — это $⌊ 132/4 ⌋ = 33$ , а не 33,5.
Проверка: подставьте найденное $S$ , разыграйте все ходы Пети и для каждого найдите победный ответ Вани не позже второго хода.

Режимы

Сейчас открыт режим обучения: теория, разбор и ответ видны. Скоро появится режим проверки — только условие и поле ответа, без подсказок.

Практикум Все задания Режим проверки — скоро

Частые вопросы

Кто выигрывает в задании 21?

Ваня — второй игрок. Условие требует, чтобы у него была стратегия выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети.

Что значит «нет гарантированной победы первым ходом»?

Это значит, что существует хотя бы один ход Пети, после которого Ваня не может выиграть сразу. Иначе стратегия выиграть первым ходом была бы гарантирована при любом ответе Пети.

Чем задание 21 отличается от 20?

В задании 20 выигрывает Петя своим вторым ходом, а в задании 21 — Ваня первым или вторым ходом, но без гарантии первого. Правила игры одинаковые.

Почему выигрыш за один ход возможен для всех S до 123?

Ход «уменьшить в 4 раза» даёт кучу

⌊ S /4 ⌋

; условие

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

выполняется при

S \leq 123

. Поэтому ответ нужно искать сразу за этой границей.

Можно ли потренировать задание 21?

Да. Тренажёр «Стратегия Вани» генерирует новые правила игры и просит найти минимальное

S

, а затем показывает разбор по ходам.

Игры: победа Вани первым или вторым ходом (куча)

Условие

Разбор задачи

Что важно знать

План решения

Решение

Решение

Проверка

Режимы

Частые вопросы

Смежные задания