1 балл демоверсия ЕГЭ-2026 этап 2/3 · побеждает Петя (своим 2-м ходом)

Игры: победа Пети своим вторым ходом (куча)

Q: Почему ответ — два числа?

Подходящих S может быть несколько, и задание просит два наименьших. Их записывают в порядке возрастания, например 127 128.

Задание 20 · Билет 1 · ЕГЭ по информатике

Билет 1 — демоверсия ЕГЭ-2026; остальные билеты — задания в формате экзамена (открытый сборник или тренировочные по образцу). Это тренировочные материалы, а не официальные КИМ. Ответы пересчитаны и сверены.

Билеты

Билет 1 Билет 2 Билет 3

Условие

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

убрать из кучи 3 камня;
убрать из кучи 5 камней;
уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 5 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 31$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Для игры, описанной выше (см. задание 19), найдите два наименьших значения $S$ , при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно: Петя не может выиграть за один ход; Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Вопрос. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Разбор задачи

Это та же игра с кучей, что в задании 19, но победить должен Петя — своим вторым ходом. Отличие только в условии победы: правила хода и порог окончания игры те же.

Нужно найти два наименьших начальных числа камней $S$ , при которых Петя не выигрывает за один ход, но после его хода любой ответ Вани позволяет Пете выиграть следующим ходом.

Что важно знать

Задание базового уровня — оценивается в 1 балл
Ответ — два числа в порядке возрастания
«Уменьшить в 4 раза» — это деление с округлением вниз: $⌊ 20/4 ⌋ = 5$

План решения

Найдите зону мгновенной победы — до какого $S$ игрок выигрывает за один ход.
Возьмите $S$ сразу за этой зоной: там Петя не выигрывает сразу.
Проверьте, есть ли у Пети ход, после которого любой ответ Вани снова под мгновенной победой Пети.
Если нет — берите следующее $S$ ; найдите два наименьших подходящих.
Запишите оба числа в порядке возрастания.

Не знаешь, как решать?

Потренируйся на игре с кучей: тренажёр соберёт новые правила и попросит найти два наименьших S, где Петя побеждает своим вторым ходом.

Открыть тренажёр

Решение

Теория с нуля: что нужно знать

1. Чем отличаются задания 19, 20 и 21

Правила игры во всех трёх заданиях одинаковые — отличаются только условие победы и число ответов. Для игры из задания 19 (порог 30, убрать 3, убрать 5 или уменьшить в 4 раза) ответы такие:

Задание	Кто выигрывает	Каким ходом	Ответ
19	Ваня (2-й игрок)	своим 1-м ходом	124
20	Петя (1-й игрок)	своим 2-м ходом	127 и 128
21	Ваня (2-й игрок)	первым или вторым ходом	132

Поэтому числа разные: 124, 127 128 и 132 — это ответы об одной и той же игре при разных условиях победы.

2. Правила игры

Перед игроками куча из

S

камней,

S \geq 31

. Игроки ходят по очереди, первым — Петя. За один ход можно убрать 3 камня, убрать 5 камней или уменьшить кучу в 4 раза (деление с округлением вниз). Игра заканчивается, когда в куче становится не более 30 камней: побеждает тот, кто сделал последний ход, то есть первым получил кучу

\leq 30

3. Выигрышная и проигрышная позиция

Позиция выигрышная для игрока, который сейчас ходит, если он может сходить так, что соперник окажется в проигрышной позиции, либо сразу завершить игру. Если такого хода нет, позиция проигрышная. Приём «считать позиции от конца к началу» называется ретроанализом.

4. Мгновенная победа

Игрок выигрывает за один ход, если после его хода куча становится не более 30. Для каждой команды это даёт своё условие: убрать 5 —

S - 5 \leq 30

, то есть

S \leq 35

; убрать 3 —

S - 3 \leq 30

, то есть

S \leq 33

; уменьшить в 4 раза —

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

, то есть

S \leq 123

. Значит, при

S \leq 123

всегда есть мгновенная победа.

5. Округление при делении

Команда «уменьшить кучу в

K

раз» — это деление с округлением вниз: дробная часть отбрасывается. Например, при уменьшении в 2 раза из 25 камней получается 12, а не 12,5:

⌊ 25/2 ⌋ = 12

. Из-за этого мгновенная победа по этой команде возможна на единицу дальше точного произведения: условие

⌊ S / K ⌋ \leq L

равносильно

S \leq K \cdot (L + 1) - 1

. Именно на этой единице чаще всего и ошибаются.

6. Что значит «выиграть вторым ходом»

Петя ходит первым. Выиграть своим вторым ходом — значит, что после его первого хода, каким бы ни был ответ Вани, Петя следующим ходом получает кучу $\leq 30$ . То есть у Пети есть такой первый ход $S \to m$ , что любой ход Вани $m \to k$ снова оставляет Пете мгновенную победу.

Сам Петя при этом не должен выигрывать за один ход. Ответ — два наименьших таких $S$ в порядке возрастания.

Решение

открыто шагов: 5 из 5

1 Шаг 1

Ретроанализ. Сначала находим зону мгновенной победы: «убрать 3» выигрывает сразу при

S \leq 33

, «убрать 5» — при

S \leq 35

, «уменьшить в 4 раза» — при

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

, то есть при

S \leq 123

. Значит, при

S \leq 123

Петя выигрывает за один ход, и ответ ищем за этой границей.

2 Шаг 2

S = 127

: Петя не выигрывает сразу (

127 > 123

). Ходом «убрать 3 камня» он идёт в 124. Любой ответ Вани — 121, 119 или 31 — снова попадает в зону мгновенной победы Пети: например,

⌊ 121/4 ⌋ = 30 \leq 30

3 Шаг 3

S = 128

: аналогично работает ход в 125; после любого ответа Вани (122, 120 или 31) Петя выигрывает следующим ходом.

4 Шаг 4

Меньшие значения не годятся: при

S = 126

любой ход Пети (123, 121 или 31) даёт Ване мгновенную победу.

5 Шаг 5

Два наименьших значения: 127 и 128.

Правильный ответ этого билета: 127 128

Проверка:

S = 127

S = 128

: Петя не выигрывает сразу, а после его хода (в 124 и в 125) любой ответ Вани снова под мгновенной победой Пети. Совпадает с эталоном демоверсии.

Проверка

Типовые ошибки и проверка

Дают одно значение $S$ , хотя ответ — два наименьших числа.
Проверяют победу вторым ходом при одном конкретном ответе Вани, а не при любом его ходе.
Считают деление точным: «уменьшить в 4 раза» из 124 — это $⌊ 124/4 ⌋ = 31$ , а не 31,5.
Забывают, что игрок, получивший кучу $\leq 30$ , побеждает немедленно, — и продолжают игру.
Проверка: подставьте каждое найденное $S$ и убедитесь, что Петя не выигрывает сразу, а на любой ход Вани у него есть победный ответ.

Режимы

Сейчас открыт режим обучения: теория, разбор и ответ видны. Скоро появится режим проверки — только условие и поле ответа, без подсказок.

Практикум Все задания Режим проверки — скоро

Частые вопросы

Чем задание 20 отличается от задания 19?

В задании 19 побеждает Ваня своим первым ходом. В задании 20 побеждает Петя своим вторым ходом: правила игры те же, меняется условие на выигрыш.

Что значит «выиграть своим вторым ходом»?

Петя делает первый ход, и каким бы ни был ответ Вани, Петя выигрывает следующим ходом. То есть у Пети есть такой первый ход, что любой ответ Вани снова попадает под мгновенную победу Пети.

Почему ответ — два числа?

Подходящих

S

может быть несколько, и задание просит два наименьших. Их записывают в порядке возрастания, например 127 128.

Как округляется куча при делении?

Деление идёт с округлением вниз: из 25 камней при уменьшении в 2 раза получается 12, а не 12,5. Поэтому мгновенная победа возможна чуть дальше точного произведения.

Можно ли потренировать задание 20?

Да. Тренажёр «Победа вторым ходом» генерирует новые правила игры и просит найти два наименьших

S

, а затем показывает разбор по ходам.

Игры: победа Пети своим вторым ходом (куча)

Условие

Разбор задачи

Что важно знать

План решения

Решение

Решение

Проверка

Режимы

Частые вопросы

Смежные задания