Логика: фрагмент таблицы истинности, порядок столбцов

В логике утверждение бывает либо истинным, либо ложным. Истину обозначают 1, ложь — 0. Логическая переменная (здесь x, y, z, w) хранит ровно одно из двух значений: 0 или 1.
Логическая функция — это правило, которое по значениям нескольких переменных выдаёт один результат: 0 или 1. Удобно представить её «машинкой»: на входе — набор нулей и единиц, на выходе — один 0 или 1.
Например, $F=x\wedge y$ выдаёт 1 только тогда, когда и x, и y равны 1; во всех остальных случаях $F=0$. В этой задаче функция $F$ зависит от четырёх переменных: $F(x,y,z,w)$.

Знак	Название	Читается	Результат равен 1, когда…
¬A	отрицание, НЕ	«не A»	$A=0$
A ∧ B	конъюнкция, И	«A и B»	$A=1$ и $B=1$
A ∨ B	дизъюнкция, ИЛИ	«A или B»	хотя бы одно из A, B равно 1
A → B	импликация	«если A, то B»	$A=0$ или $B=1$ (подробнее — следующий пункт)
A ≡ B	эквивалентность	«A равно B»	A и B совпадают
A ⊕ B	строгое ИЛИ	«либо A, либо B»	A и B различаются

∧ ведёт себя как умножение ($1\cdot 1=1$, иначе 0), а $\vee$ — как сложение с «потолком» ($1+1=1$), поэтому иногда пишут $A\cdot B$ вместо $A\wedge B$ и $A+B$ вместо $A\vee B$.
Те же операции бывают записаны иначе: $\neg A$ = «не A»; $A\wedge B$ = «A AND B»; $A\vee B$ = «A OR B»; $A\equiv B$ = «A ↔ B» = «A = B».

Операции выполняют по старшинству: 1) скобки → 2) $\neg$ → 3) ∧ → 4) $\vee$ → 5) $\to$ → 6) $\equiv$.
Проще говоря: сначала считают всё в скобках, затем все отрицания, потом И, затем ИЛИ, и в самом конце — импликации и эквивалентности.
Скобки меняют смысл. Сравните: $\neg (y\equiv z)$ — это отрицание результата «y равно z», то есть «y не равно z»; а $\neg y\equiv z$ означает «(не y) равно z». В условии задачи стоит именно $\neg (y\equiv z)$.

Знак $\to$ («если A, то B») путает чаще всего, поэтому разберём его отдельно.
A и B — это две логические переменные (или два утверждения), каждая равна 0 или 1 — так же, как x, y, z, w. Результат $A\to B$ — тоже значение 0 или 1, и он зависит от пары (A, B):

A	B	A → B	Почему
0	0	1	условие A не выполнено — нарушать нечего
0	1	1	условие A не выполнено
1	0	0	A выполнено, а B нет — единственный ложный случай
1	1	1	и A, и B выполнены

Отсюда правило: $A\to B$ ложно ровно тогда, когда $A=1$, а $B=0$. Во всех остальных случаях результат равен 1. Это значит: если $A=1$, то $B$ обязан быть равен 1, иначе выражение ложно; а если $A=0$, то B может быть любым.
Если интуиция не помогает, считайте импликацию механически: $A\to B=\neg A\vee B$ («не A или B»). Тогда всё сводится к уже знакомым $\neg$ и $\vee$:
• $A=1,B=0$ → $\neg 1\vee 0=0\vee 0=0$ (ложь);
• $A=0$ → $\neg 0\vee B=1\vee B=1$ при любом B.
Порядок важен: $A\to B$ и $B\to A$ — разные выражения. При $A=0,B=1$ первое истинно, а второе ложно.
Числовой пример. Пусть A = «число делится на 4», B = «число чётное», тогда утверждение $A\to B$ («если делится на 4, то чётное») истинно всегда: у чисел 3 и 6 посылка $A=0$, а у чисел 4 и 8 и $A=1$, и $B=1$. Ложного случая «делится на 4, но нечётное» не существует. А похожее утверждение «если делится на 4, то оканчивается на 8» ложно: число 4 даёт $A=1,B=0$.
Замечание. В условии задания 2 импликации нет — здесь только $\neg$, ∧, $\vee$ и $\equiv$. Знак $\to$ встречается в других заданиях (например, в задании 15), и его полезно понимать.

Чтобы задать функцию полностью, перечисляют все наборы значений переменных и результат для каждого набора. Это и есть таблица истинности.
Если переменных n, то различных наборов $2^n$: для четырёх переменных — 16 строк. Столбцы переменных заполняют как счётчик в двоичной системе: 0000, 0001, 0010, … (как числа от 0 до 15), а в последнем столбце пишут значение $F$ для этой строки.
В задачах обычно дают не всю таблицу, а только фрагмент — несколько строк, и отдельно сообщают, что порядок столбцов неизвестен.

Возьмём строку $x=1,y=1,z=0,w=0$ и выражение из условия $F=(x\vee y)\wedge \neg (y\equiv z)\wedge \neg w$. Подставляем значения и считаем по частям:

• $x\vee y=1\vee 1=1$;
• $y\equiv z$: сравниваем 1 и 0 — не равны, результат 0, тогда $\neg (y\equiv z)=1$;
• $\neg w=\neg 0=1$;
• перемножаем: $1\wedge 1\wedge 1=1$, то есть $F=1$.

Так же разбирают и любую другую строку: в каждый множитель подставляют значения из этой строки.

В условии приведён фрагмент таблицы: строки — это наборы значений переменных, записанные по столбцам, а последний столбец — значение $F$. Показаны только три строки, и во всех трёх $F=1$.
Пустая клетка — это неизвестное значение: автор её не заполнил, и его можно подобрать (0 или 1), лишь бы наборы строк оставались различными. Но главная сложность в том, что неизвестно, какая переменная (w, x, y или z) стоит в каком столбце.

Порядок столбцов не угадывают, а выводят из того, что в показанных строках $F=1$. Отсюда сразу следуют три условия: $w=0$, $y\ne z$ и $(x\vee y)=1$.
По ним находят столбец w, затем пару столбцов для y и z, а из двух оставшихся вариантов выбирают тот, при котором все три строки получаются различными.