1 балл демоверсия ЕГЭ-2026 этап 1/3 · побеждает Ваня (своим 1-м ходом)

Игры: выигрышная стратегия первым ходом (куча)

Q: Почему выигрыш за один ход возможен для всех S до 123?

Потому что ход «уменьшить в 4 раза» даёт кучу ⌊ S/4 ⌋; условие ⌊ S/4 ⌋ ≤ 30 выполняется при S ≤ 123. Значит, ответ нужно искать сразу за этой границей.

Задание 19 · Билет 1 · ЕГЭ по информатике

Билет 1 — демоверсия ЕГЭ-2026; остальные билеты — задания в формате экзамена (открытый сборник или тренировочные по образцу). Это тренировочные материалы, а не официальные КИМ. Ответы пересчитаны и сверены.

Билеты

Билет 1 Билет 2 Билет 3

Условие

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

убрать из кучи 3 камня;
убрать из кучи 5 камней;
уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 5 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 31$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Вопрос. Укажите минимальное значение

S

, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Разбор задачи

Задание 19 ЕГЭ по информатике — теория игр: два игрока по очереди ходят с одной кучей камней, а ходом можно убрать несколько камней или уменьшить кучу в несколько раз.

Нужно найти минимальное начальное число камней $S$ , при котором первый игрок не может выиграть за один ход, но любой его ход даёт второму игроку мгновенную победу. Решают анализом позиций от конца к началу.

Что важно знать

Задание базового уровня — оценивается в 1 балл
Побеждает тот, кто первым получит кучу не больше порога (в билетах это 30 камней)
«Уменьшить в 4 раза» — это деление с округлением вниз: $⌊ 20/4 ⌋ = 5$

План решения

Выпишите все команды хода и условие завершения игры.
Найдите зону мгновенной победы — до какого $S$ игрок выигрывает за один ход.
Возьмите первое $S$ сразу за этой зоной: там мгновенной победы нет.
Проверьте, что каждый ход из этого $S$ оставляет сопернику мгновенную победу.
Убедитесь, что меньшие $S$ не подходят, и запишите ответ.

Не знаешь, как решать?

Потренируйся находить выигрышные позиции: тренажёр соберёт новые правила игры с кучей и попросит найти минимальное S — от разминки до формата экзамена.

Открыть тренажёр

Решение

Теория с нуля: что нужно знать

1. Чем отличаются задания 19, 20 и 21

Правила игры во всех трёх заданиях одинаковые — отличаются только условие победы и число ответов. Для игры из задания 19 (порог 30, убрать 3, убрать 5 или уменьшить в 4 раза) ответы такие:

Задание	Кто выигрывает	Каким ходом	Ответ
19	Ваня (2-й игрок)	своим 1-м ходом	124
20	Петя (1-й игрок)	своим 2-м ходом	127 и 128
21	Ваня (2-й игрок)	первым или вторым ходом	132

Поэтому числа разные: 124, 127 128 и 132 — это ответы об одной и той же игре при разных условиях победы.

2. Правила игры

Перед игроками куча из

S

камней,

S \geq 31

. Игроки ходят по очереди, первым — Петя. За один ход можно убрать 3 камня, убрать 5 камней или уменьшить кучу в 4 раза (деление с округлением вниз). Игра заканчивается, когда в куче становится не более 30 камней: побеждает тот, кто сделал последний ход, то есть первым получил кучу

\leq 30

3. Выигрышная и проигрышная позиция

Позиция выигрышная для игрока, который сейчас ходит, если он может сходить так, что соперник окажется в проигрышной позиции, либо сразу завершить игру. Если такого хода нет, позиция проигрышная. Приём «считать позиции от конца к началу» называется ретроанализом.

4. Мгновенная победа

Игрок выигрывает за один ход, если после его хода куча становится не более 30. Для каждой команды это даёт своё условие: убрать 5 —

S - 5 \leq 30

, то есть

S \leq 35

; убрать 3 —

S - 3 \leq 30

, то есть

S \leq 33

; уменьшить в 4 раза —

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

, то есть

S \leq 123

. Значит, при

S \leq 123

всегда есть мгновенная победа.

5. Округление при делении

Команда «уменьшить кучу в

K

раз» — это деление с округлением вниз: дробная часть отбрасывается. Например, при уменьшении в 2 раза из 25 камней получается 12, а не 12,5:

⌊ 25/2 ⌋ = 12

. Поэтому мгновенная победа по этой команде возможна не до

K \cdot L

, а на

K - 1

дальше: условие

⌊ S / K ⌋ \leq L

равносильно

S \leq K \cdot (L + 1) - 1

(здесь

L

— порог, до которого заканчивается игра). Именно на этой единице чаще всего и ошибаются: последнее «выигрышное сразу»

S

ещё подходит, а ответ — ровно на 1 больше. В билетах ниже это разобрано на числах.

6. Как искать ответ: обратный счёт

Считаем от финиша назад. Для каждой команды находим наибольшее $S$ , из которого она ещё даёт мгновенную победу: убрать $v$ — это $S \leq L + v$ ; уменьшить в $K$ раз — это $S \leq K \cdot (L + 1) - 1$ (здесь $L$ — порог). Первое значение, которое из этой зоны выпадает, для убрать — $L + v + 1$ , для деления — $K \cdot (L + 1)$ .

Петя не должен выиграть за один ход, значит, ни одна команда не должна срабатывать: берём максимум из этих «первых неподходящих» значений — это и есть минимальное $S$ . Остаётся проверить, что каждый ход из найденного $S$ отдаёт сопернику мгновенную победу.

Решение

открыто шагов: 6 из 6

1 Шаг 1

Обратный счёт. Игра заканчивается ходом, после которого камней становится не больше 30, — такой ход выигрышный. Пойдём от этого финиша назад и для каждого варианта хода найдём первое

S

, из которого он уже не даёт мгновенной победы.

2 Шаг 2

Вариант убрать 3 камня: чтобы ход выиграл, нужно

S - 3 \leq 30

, то есть

S \leq 33

. Значит, 33 — наибольшее «выигрышное сразу» по этому варианту, а первое неподходящее — 34.

3 Шаг 3

Вариант убрать 5 камней: условие

S - 5 \leq 30

даёт

S \leq 35

; первое неподходящее — 36.

4 Шаг 4

Вариант уменьшить кучу в 4 раза: нужно

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

. Из-за округления вниз сюда попадают числа до

31 \cdot 4 - 1 = 123

(например,

⌊ 123/4 ⌋ = 30

, хотя точное

123/4 = 30, 75

). А вот

31 \cdot 4 = 124

даёт

⌊ 124/4 ⌋ = 31 > 30

— это первое

S

, где деление не приносит победы.

5 Шаг 5

Петя не должен выиграть за один ход, значит, ни один вариант не должен срабатывать:

S

должно быть больше 33, больше 35 и больше 123. Наименьшее такое — 124 (максимум из 34, 36 и 124).

6 Шаг 6

Проверяем 124: ходы Пети дают 121, 119 и 31. Каждый результат отдаёт Ване мгновенную победу (например,

⌊ 121/4 ⌋ = 30

). Минимальное

S = 124

Правильный ответ этого билета: 124

Проверка:

S = 124

: Петя не выигрывает сразу, а любой его ход (121, 119 или 31) позволяет Ване победить первым ходом. Совпадает с эталоном демоверсии.

Проверка

Типовые ошибки и проверка

Неверно считают ход «уменьшить в 4 раза»: это деление с округлением вниз, $⌊ 20/4 ⌋ = 5$ .
Забывают, что игрок, получивший кучу $\leq 30$ , побеждает немедленно, — и продолжают игру дальше.
Путают, чья позиция проигрышная: победа Пети в одном задании не значит, что позиция «хорошая» и в заданиях 20–21.
Берут любое $S$ с нужным свойством, а не минимальное.
Проверка: подставьте найденное $S$ и разыграйте все ходы Пети — каждый должен давать Ване мгновенную победу.

Режимы

Сейчас открыт режим обучения: теория, разбор и ответ видны. Скоро появится режим проверки — только условие и поле ответа, без подсказок.

Практикум Все задания Режим проверки — скоро

Частые вопросы

Что проверяет задание 19 ЕГЭ по информатике?

Умение анализировать выигрышные и проигрышные позиции в игре с кучей камней: найти минимальное

S

, при котором первый игрок не выигрывает сразу, но любой его ход оставляет второму игроку мгновенную победу.

Что значит «уменьшить кучу в 4 раза»?

Это деление с округлением вниз: из 20 камней получается 5, из 21 — 5, из 23 — 5. Целая часть от деления, а не дробное число.

Почему выигрыш за один ход возможен для всех S до 123?

Потому что ход «уменьшить в 4 раза» даёт кучу

⌊ S /4 ⌋

; условие

⌊ S /4 ⌋ \leq 30

выполняется при

S \leq 123

. Значит, ответ нужно искать сразу за этой границей.

Чем задание 19 отличается от заданий 20 и 21?

В задании 19 победу одерживает соперник (Ваня) своим первым ходом. В задании 20 выигрывает Петя своим вторым ходом, а в задании 21 — Ваня первым или вторым ходом, но без гарантии победы первым. Правила одной и той же игры, но разные условия.

Можно ли потренировать задание 19?

Да. Тренажёр «Выигрышные позиции» генерирует новые правила игры и просит найти минимальное подходящее

S

, а затем показывает разбор по ходам с проверкой.

Игры: выигрышная стратегия первым ходом (куча)

Условие

Разбор задачи

Что важно знать

План решения

Решение

Решение

Проверка

Режимы

Частые вопросы

Смежные задания