1 балл демоверсия ЕГЭ-2026

Арифметические выражения и системы счисления

Q: Что такое «цифра с числовым значением больше 9»?

В системе с основанием b цифра — это значение разряда от 0 до b - 1. Если b > 10, появляются цифры со значением 10, 11 и так далее. Например, в 16-ричной системе это A–F. Вопрос спрашивает, сколько таких цифр в записи.

Задание 14 · Билет 1 · ЕГЭ по информатике

Билет 1 — демоверсия ЕГЭ-2026; остальные билеты — задания в формате экзамена (открытый сборник или тренировочные по образцу). Это тренировочные материалы, а не официальные КИМ. Ответы пересчитаны и сверены.

Билеты

Билет 1 Билет 2 Билет 3 Билет 4

Условие

Значение арифметического выражения

2·2187²⁰²⁰ + 729²⁰²¹ − 2·243²⁰²² + 81²⁰²³ − 2·27²⁰²⁴ − 6561

записали в системе счисления с основанием 27.

Вопрос. Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9.

Попробуйте программой

Необязательно, но удобно: напишите здесь свой код на Python, который найдёт ответ. Если не получится — откройте решение и вставьте готовую программу одной кнопкой.

Решите программой на Python

в браузере

Напишите свой код, который найдёт ответ, и нажмите «Выполнить». Горячая клавиша запуска: Ctrl/⌘ + Enter.

Результат

Здесь появится вывод print().

Разбор задачи

Задание 14 ЕГЭ по информатике — это системы счисления и арифметические выражения. Значение выражения записывают в системе счисления с заданным основанием и спрашивают про свойства этой записи.

Вопрос бывает трёх видов: сколько цифр имеют числовое значение больше 9; при какой цифре x выражение делится нацело (и чему равно частное); при каком наибольшем x в записи ровно N нулей. Степени огромные, поэтому задачу решают короткой программой.

Что важно знать

Задание базового уровня — оценивается в 1 балл
В системе с основанием $b$ цифры — значения от 0 до $b - 1$ ; при $b > 10$ есть цифры со значением 10, 11, …
Перевод в систему с основанием b — деление с остатком; остатки читают снизу вверх
Степени в выражении огромные — считают программой (Python)

План решения

Прочитайте вопрос: что именно нужно найти в записи по заданному основанию
Вычислите значение выражения — большие числа удобны в Python
Переведите число в нужную систему делением с остатком
Подсчитайте цифры со значением больше 9 или нулевые разряды
В задачах с x переберите подходящие значения (нужен максимум — перебор сверху вниз)
Проверьте ответ программой и коротким ручным примером

Разберись с двоичной системой

Наглядно: кликай по битам и смотри, как десятичное число превращается в двоичное и обратно.

Двоичный калькулятор

Решение

Теория с нуля: что нужно знать

1. Что такое система счисления

Запись числа в системе с основанием

b

— это сумма цифр, умноженных на степени

b

: каждая позиция отвечает за свою степень, считая от нуля справа. Например, в 7-ричной системе:

1046₇ = 1·7³ + 0·7² + 4·7¹ + 6·7⁰ = 343 + 28 + 6 = 377

Цифры в системе с основанием

b

— это значения от 0 до

b - 1

. Если основание больше 10, старшие цифры имеют числовое значение 10, 11 и так далее (в 16-ричной системе их обозначают A–F). Именно поэтому в задании 14 встречается формулировка «цифры с числовым значением больше 9».

2. Перевод из десятичной системы и обратно

Чтобы перевести число в систему с основанием b, его делят на b и запоминают остатки — это цифры от младшей к старшей. Остатки читают в обратном порядке.
Пример: переведём 377 в 7-ричную систему. 377 = 7·53 + 6; 53 = 7·7 + 4; 7 = 7·1 + 0; 1 = 7·0 + 1. Остатки: 6, 4, 0, 1 — читаем снизу вверх, получаем 1046.
Обратно: расставляем веса — степени основания справа налево — и складываем.

3. Три типовых вопроса задания 14

В задании 14 значение арифметического выражения записывают в системе с заданным основанием и спрашивают одно из трёх:
А) сколько в записи цифр с числовым значением больше 9;
Б) при какой цифре x выражение делится нацело — и чему равно частное;
В) при каком наибольшем x в записи ровно N нулей.

4. Почему это решают программой

Степени в выражении огромные — у числа тысячи разрядов, поэтому вручную его не посчитать. На экзамене пишут короткую программу: в Python целые числа неограниченной длины, степень — **, а перевод в нужную систему — цикл деления с остатком. Программа же служит и проверкой ответа.

5. Почему прямой расчёт работает: bigint

Выражение выглядит пугающе — основание в степени больше двух тысяч. Но само число не такое уж большое: здесь около 6750 десятичных цифр, то есть примерно 3 КБ. Это совсем немного.

Переполнения нет. В Python целые числа — не 64-битные (как long long в C++ или Int64 в Pascal), а произвольной длины — bigint. Число хранится, пока хватает памяти, поэтому 2187**2020 считается точно и мгновенно, без переполнения.

Памяти нужно немного. Каждое слагаемое — меньше 3 КБ (само число в Python занимает около 3000 байт), а на всё выражение уходит несколько десятков килобайт. Это ничто на фоне гигабайтов оперативной памяти.

Когда прямой расчёт не сработает. Только в языках с фиксированными целыми: long long держит примерно 19 цифр и переполнится. Там нужна библиотека длинной арифметики или разбор по разрядам степени. На ЕГЭ обычно берут Python — и расчёт «в лоб» абсолютно законен.

Решение

открыто шагов: 4 из 4

1 Шаг 1

Подход. Читаем вопрос: нужно количество цифр со значением больше 9 в 27-ричной записи. Числа-степени огромные, вручную не считаются, поэтому работаем программой: считаем значение выражения и переводим в нужную систему делением с остатком, попутно подсчитывая подходящие разряды.

2 Шаг 2

Считаем значение выражения в Python (числа очень большие, но Python их переваривает): n = 2·2187**2020 + 729**2021 − 2·243**2022 + 81**2023 − 2·27**2024 − 6561.

3 Шаг 3

Переводим в систему с основанием 27 делением с остатком и считаем цифры-разряды со значением больше 9.

4 Шаг 4

Расчёт даёт количество таких цифр = 3367.

Программа, которая находит ответ:

n = 2 * 2187**2020 + 729**2021 - 2 * 243**2022 + 81**2023 - 2 * 27**2024 - 6561  # значение выражения
ans = 0                                              # счётчик цифр со значением больше 9
while n > 0:                                         # переводим в 27-ричную делением с остатком
    if n % 27 > 9:                                   # очередная цифра больше 9?
        ans += 1                                     # да — считаем
    n //= 27                                         # переходим к следующему разряду
print(ans)                                           # выводим ответ

Правильный ответ этого билета: 3367

Проверка: расчёт программой даёт 3367. Совпадает с эталоном демоверсии.

Проверка

Типовые ошибки и проверка

Неверно понимают «цифра со значением больше 9» — это цифра-разряд от 10 до основания−1, а не «9».
В задачах с x не проверяют все значения (иногда x может быть двузначным числом до основания−1).
Путают «частное от деления» с самим значением.
Считают «ровно N нулей» с учётом ведущих нулей (их нет).
Проверка: пересчитайте программой и сравните с переводом «вручную» для малого примера.

Режимы

Сейчас открыт режим обучения: теория, разбор и ответ видны. Скоро появится режим проверки — только условие и поле ответа, без подсказок.

Практикум Все задания Режим проверки — скоро

Частые вопросы

Что проверяет задание 14 ЕГЭ по информатике?

Умение работать с системами счисления: переводить числа, считать свойства их записи (цифры с большим значением, нули) и подбирать неизвестную цифру x по условию делимости.

Что такое «цифра с числовым значением больше 9»?

В системе с основанием

b

цифра — это значение разряда от 0 до

b - 1

. Если

b > 10

, появляются цифры со значением 10, 11 и так далее. Например, в 16-ричной системе это A–F. Вопрос спрашивает, сколько таких цифр в записи.

Как переводить из десятичной системы в любую другую?

Число делят на основание и запоминают остатки — это цифры от младшей к старшей. Остатки читают в обратном порядке. Обратный перевод — расстановка весов: цифра умножается на основание в степени позиции.

Почему задание 14 решают программой?

Степени в выражении дают числа в тысячи разрядов — вручную не посчитать. В Python целые числа произвольной длины (bigint), поэтому переполнения нет: степень считается через **, а перевод в систему — циклом деления с остатком.

Можно ли потренировать задание 14?

Да. Практикум ведёт от перевода чисел между системами до формата экзамена: подсчёт цифр со значением больше 9 в записи выражения. Есть уровни, проверка ответа и разбор.

Арифметические выражения и системы счисления

Условие

Попробуйте программой

Решите программой на Python

Разбор задачи

Что важно знать

План решения

Решение

Решение

Проверка

Режимы

Частые вопросы

Смежные задания