Логика: истинность выражения с отрезками и предикатами

Разбор задачи

Задание 15 ЕГЭ по информатике — это логическое выражение, в котором высказывания означают «точка x лежит на отрезке». Формула должна быть истинна при любом x, а спрашивают обычно про отрезок A, который в неё входит.

Решают так: переводят «$x\in P$», «$x\in Q$», «$x\in A$» в буквы, раскрывают импликации и упрощают выражение. После упрощения становится видно, какая область обязана целиком попасть в отрезок A, — её и берут как ответ.

Что важно знать

• Задание базового уровня — оценивается в 1 балл
• Импликация раскрывается как $A\to B=\neg A\vee B$
• Законы де Моргана: $\neg (A\wedge B)=\neg A\vee \neg B$, $\neg (A\vee B)=\neg A\wedge \neg B$
• Формула истинна при любом x — ложной она не должна быть нигде
• Длина отрезка $[a;b]$ равна $b-a$ (например, $[40;64]$ — это длина $24$)

План решения

1. Обозначьте высказывания буквами: P — «$x\in P$», Q — «$x\in Q$», A — «$x\in A$»
2. Раскройте все импликации по правилу $A\to B=\neg A\vee B$
3. Упростите выражение законами де Моргана до операций $\neg$, $\wedge$, $\vee$
4. Найдите область, где выражение может стать ложным: она обязана попасть в A
5. Возьмите A наименьшей длины (или по вопросу задачи) и посчитайте его длину
6. Проверьте ответ на граничных точках