1 балл демоверсия ЕГЭ-2026 этап 1/3 · побеждает Ваня (своим 1-м ходом) тренировка

Игры: выигрышная стратегия первым ходом (куча)

Задание 19 · Билет 3 · ЕГЭ по информатике

Билет 1 — демоверсия ЕГЭ-2026; остальные билеты — задания в формате экзамена (открытый сборник или тренировочные по образцу). Это тренировочные материалы, а не официальные КИМ. Ответы пересчитаны и сверены.

Билеты

Билет 1 Билет 2 Билет 3

Условие

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

убрать из кучи 4 камня;
убрать из кучи 6 камней;
уменьшить количество камней в куче в 5 раз (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 41$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Вопрос. Укажите минимальное значение

S

, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Не знаешь, как решать?

Потренируйся находить выигрышные позиции: тренажёр соберёт новые правила игры с кучей и попросит найти минимальное S — от разминки до формата экзамена.

Открыть тренажёр

Решение

открыто шагов: 6 из 6

1 Шаг 1

Обратный счёт. Финиш — куча не более 40; идём от него назад по вариантам хода и ищем первое

S

без мгновенной победы.

2 Шаг 2

Вариант убрать 4 камня:

S - 4 \leq 40

, то есть

S \leq 44

; первое неподходящее — 45.

3 Шаг 3

Вариант убрать 6 камней:

S - 6 \leq 40

, то есть

S \leq 46

; первое неподходящее — 47.

4 Шаг 4

Вариант уменьшить кучу в 5 раз:

⌊ S /5 ⌋ \leq 40

; с округлением вниз это

S \leq 41 \cdot 5 - 1 = 204

, а первое неподходящее —

41 \cdot 5 = 205

⌊ 205/5 ⌋ = 41 > 40

5 Шаг 5

Ни один вариант не должен побеждать:

S

больше 44, больше 46 и больше 204. Наименьшее такое — 205 (максимум из 45, 47 и 205).

6 Шаг 6

Проверяем 205: ходы 201, 199 и 41; из каждого Ваня выигрывает сразу (например,

⌊ 201/5 ⌋ = 40

). Минимальное

S = 205

Правильный ответ этого билета: 205

Проверка: перебор позиций подтверждает: при

S = 205

Петя не выигрывает сразу, а его ходы дают 201, 199 и 41 — из каждого Ваня побеждает первым ходом. Независимая проверка — в `tests/verify-answers.mjs`.

Теория и другие билеты

Разбор с нуля, типовые ошибки, частые вопросы и все билеты задания 19 — на странице задания.

Задание 19: теория и другие билеты Практикум