1 балл демоверсия ЕГЭ-2026 этап 1/3 · побеждает Ваня (своим 1-м ходом) тренировка

Игры: выигрышная стратегия первым ходом (куча)

Задание 19 · Билет 2 · ЕГЭ по информатике

Билет 1 — демоверсия ЕГЭ-2026; остальные билеты — задания в формате экзамена (открытый сборник или тренировочные по образцу). Это тренировочные материалы, а не официальные КИМ. Ответы пересчитаны и сверены.

Билеты

Билет 1 Билет 2 Билет 3

Условие

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

убрать из кучи 2 камня;
убрать из кучи 7 камней;
уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 25. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 26$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Вопрос. Укажите минимальное значение

S

, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Не знаешь, как решать?

Потренируйся находить выигрышные позиции: тренажёр соберёт новые правила игры с кучей и попросит найти минимальное S — от разминки до формата экзамена.

Открыть тренажёр

Решение

открыто шагов: 6 из 6

1 Шаг 1

Обратный счёт. Финиш — куча не более 25. Идём от него назад: для каждого варианта хода находим первое

S

, где мгновенной победы уже нет.

2 Шаг 2

Вариант убрать 2 камня:

S - 2 \leq 25

, то есть

S \leq 27

; первое неподходящее — 28.

3 Шаг 3

Вариант убрать 7 камней:

S - 7 \leq 25

, то есть

S \leq 32

; первое неподходящее — 33.

4 Шаг 4

Вариант уменьшить кучу в 3 раза:

⌊ S /3 ⌋ \leq 25

; с округлением вниз это

S \leq 26 \cdot 3 - 1 = 77

, а первое неподходящее —

26 \cdot 3 = 78

⌊ 78/3 ⌋ = 26 > 25

5 Шаг 5

Ни один вариант не должен побеждать:

S

больше 27, больше 32 и больше 77. Наименьшее такое — 78 (максимум из 28, 33 и 78).

6 Шаг 6

Проверяем 78: ходы 76, 71 и 26; из каждого Ваня выигрывает сразу (например,

⌊ 76/3 ⌋ = 25

). Минимальное

S = 78

Правильный ответ этого билета: 78

Проверка: перебор позиций подтверждает: при

S = 78

Петя не выигрывает сразу, а его ходы дают 76, 71 и 26 — из каждого Ваня побеждает первым ходом. Независимая проверка — в `tests/verify-answers.mjs`.

Теория и другие билеты

Разбор с нуля, типовые ошибки, частые вопросы и все билеты задания 19 — на странице задания.

Задание 19: теория и другие билеты Практикум